VIDEO LEYES DE NEWTON

ESTE VIDEO MUESTRA DE UNA MANERA DINAMICA, LAS TRES LEYES DE NEWTON.

MAS SOBRE EL CÁLCULO

Concepto general de cálculo

El cálculo es un sistema de símbolos no interpretados, es decir, sin significación alguna, en el que se establecen mediante reglas estrictas, las relaciones sintácticas entre los símbolos para la construcción de expresiones bien formadas (EBF), así como las reglas que permiten transformar dichas expresiones en otras equivalentes; entendiendo por equivalentes que ambas tienen siempre y de forma necesaria el mismo valor de verdad. Dichas transformaciones son meramente tautologías.

Un cálculo consiste en:

1. Un conjunto de elementos primitivos. Dichos elementos pueden establecerse por enumeración, o definidos por una propiedad tal que permita discernir sin duda alguna cuándo un elemento pertenece o no pertenece al sistema.
2. Un conjunto de reglas de formación de “expresiones bien formadas”(EBFs) que permitan en todo momento establecer, sin forma de duda, cuándo una expresión pertenece al sistema y cuándo no.
3. Un conjunto de reglas de transformación de expresiones, mediante las cuales partiendo de una expresión bien formada del cálculo podremos obtener una nueva expresión equivalente y bien formada que pertenece al cálculo.

Cuando en un cálculo así definido se establecen algunas expresiones determinadas como verdades primitivas o axiomas, decimos que es un sistema formal axiomático.

Un cálculo así definido si cumple al mismo tiempo estas tres condiciones decimos que es un Cálculo Perfecto:

1. Es consistente: No es posible que dada una expresión bien formada del sistema, f, y su negación, no − f, sean ambas teoremas del sistema. No puede haber contradicción entre las expresiones del sistema.
2. Decidible: Dada cualquier expresión bien formada del sistema podemos encontrar un método que nos permita decidir mediante una serie finita de operaciones si dicha expresión es o no es un teorema del sistema.
3. Completo: Cuando dada cualquier expresión bien formada del sistema, podemos establecer la demostración o prueba de que es un teorema del sistema.

La misma lógica-matemática ha demostrado que tal sistema de cálculo perfecto "no es posible" (véase el Teorema de Gödel).

El cálculo lógico

Artículo principal: Cálculo lógico

Entendemos aquí por cálculo lógico, un algoritmo que permite cómoda y fácilmente inferir o deducir un enunciado verdadero a partir de otro u otros que se tienen como válidamente verdaderos.

La inferencia o deducción es una operación lógica que consiste en obtener un enunciado como conclusión a partir de otro(s) (premisas) mediante la aplicación de reglas de inferencia.^[15]

Decimos que alguien infiere -o deduce- "T" de "R" si acepta que si "R" tiene valor de verdad V, entonces, necesariamente, "T" tiene valor de verdad V.

Los hombres en nuestra tarea diaria, utilizamos constantemente el razonamiento deductivo. Partimos de enunciados empíricos -supuestamente verdaderos y válidos- para concluir en otro enunciado que se deriva de aquellos, según las leyes de la lógica natural.^[16]

La lógica, como ciencia formal, se ocupa de analizar y sistematizar dichas leyes, fundamentarlas y convertirlas en las reglas que permiten la transformación de unos enunciados -premisas- en otros -conclusiones- con objeto de convertir las operaciones en un algoritmo riguroso y eficaz, que garantiza que dada la verdad de las premisas, la conclusión es necesariamente verdadera.

Al aplicar las reglas de este cálculo lógico a los enunciados que forman un argumento mediante la simbolización adecuada de fórmulas o Expresiones bien formadas (EBF) construimos un modelo o sistema deductivo.

UN POCO DE HISTORIA

Historia del cálculo

Las principales ideas que apuntalan el cálculo se desarrollaron durante un periodo de tiempo muy largo sin duda. Los primeros pasos fueron dados por los matemáticos griegos. Para los antiguos griegos, los números eran cocientes de enteros así que la recta numérica tenía 'hoyos' en ella. Le dieron la vuelta a esta dificultad usando longitudes, áreas y volúmenes además de números ya que, para los griegos, no todas las longitudes eran números.

Zenón de Elea, alrededor de 450 a. C., planteó una serie de problemas que estaban basados en el infinito. Por ejemplo, argumentó que el movimiento es imposible:

Si un cuerpo se mueve de A a B entonces, antes de llegar a B pasa por el punto medio, B₁, de AB. Ahora bien, para llegar a B₁ debe primero pasar por el punto medio B₂ de AB₁. Continuando con este argumento se puede ver que A debe moverse a través de un número infinito de distancias y por lo tanto no puede moverse.

Leucippo, Demócrito y Antifon hicieron contribuciones al método exhaustivo griego al que Eudoxo dio una base científica alrededor de 370 a. C. El método se llama exhaustivo ya que considera las áreas medidas como expandiéndolas de tal manera que cubran más y más del área requerida.

Diagrama de Arquímedes

Sin embargo, Arquímedes, alrededor de 225 a. C. hizo uno de las contribuciones griegas más significativas. Su primer avance importante fue demostrar que el área de un segmento de parábola es ⁴/₃ del área del triángulo con los mismos base y vértice y es igual a ²/₃ del área del paralelogramo circunscrito. Arquímedes construyó una secuencia infinita de triángulos empezando con uno de área A y añadiendo continuamente más triángulos entre los existentes y la parábola para obtener áreas

A, A + A/₄, A + A/₄ + A/₁₆, A + A/₄ + A/₁₆ + A/₆₄, ...

El área del segmento de la parábola es, por lo tanto:

A(1 + ¹/₄ + ¹/₄² + ¹/₄³ + ...) = (⁴/₃)A.

Este es el primer ejemplo conocido de suma de una serie infinita. Arquímedes usó el método exhaustivo para encontrar la aproximación al área de un círculo. Esto, por supuesto, es un ejemplo temprano de integración que llevó a valores aproximados de π.

Entre otras 'integraciones' de Arquímedes estaban el volumen y la superficie de una esfera, el volumen y área de un cono, el área de una elipse, el volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y un segmente de un hiperboloide de revolución.

No hubo más progresos hasta el siglo XVI cuando la mecánica empezó a llevar a los matemáticos a examinar problemas como el de los centros de gravedad. Luca Valerio (1552-1618) publicó De quadratura parabolae en Roma (1606) que continuaba los métodos griegos para atacar este tipo de problemas de calcular áreas. Kepler, en su trabajo sobre movimientos planetarios, tenía que encontrar el área de sectores de una elipse. Su método consistía en pensar en las áreas como sumas de líneas, otra forma rudimentaria de integración, pero Kepler tenía poco tiempo para el rigor griego y más bien tuvo suerte de obtener la respuesta correcta ya que cometió dos errores que se cancelaron uno al otro en su trabajo.

Tres matemáticos, nacidos en un periodo de tres años, fueron los siguientes en hacer contribuciones importantes. Eran Fermat, Roberval y Cavalieri. Este último llegó a su 'método de los indivisibles' por los intentos de integración de Kepler. No fue riguroso en su acercamiento y es difícil ver con claridad cómo se le ocurrió su método. Al parecer Cavalieri pensó en un área como formada por componentes que eran líneas y luego sumó su número infinito de 'indivisibles'. Demostró, usando estos métodos, que la integral de xⁿ entre 0 y a era aⁿ⁺¹/(n+1) mostrando el resultado para ciertos valores de n e infiriendo el resultado general.

Roberval consideró problemas del mismo tipo pero fue mucho más riguroso que Cavalieri. Roberval se fijó en el área entre una curva y una línea como formada por un número infinito de rectángulos infinitamente delgados. Aplicó esto a la integral de x^m entre 0 y 1 y demostró que tenía un valor aproximado de

(0^m + 1^m + 2^m +...+ (n-1) ^m)/n^m+1.

Roberval entonces afirmó que esto tendía a 1/(m+1) cuando n tiende a infinito, calculando así el área.

Fermat también fue más riguroso en su acercamiento pero no dio demostraciones. Generalizó la parábola y la hipérbola:

Parábola: ^y/_a = (^x/_b)² generalizada como (^x/_a)ⁿ = (^y/_b)^m.
Hipérbola: ^y/_a = (^b/_x)² generalizada como (^y/_a)ⁿ = (^b/_x)^m.

Al estar examinando ^y/_a = (^x/_b)^p, Fermat calculó la suma de r^p para r entre 1 y n. Fermat también investigó máximos y mínimos considerando dónde la tangente a la curva es paralela al eje X. Le escribió a Descartes dando el método esencialmente como se usa hoy, es decir, encontrando los máximos y los mínimos calculando dónde la derivada de la función es 0. De hecho, debido a este trabajo Lagrange afirmó claramente que él consideraba a Fermat como el inventor del cálculo.

Descartes produjo un importante método para deteminar normales en La Géometrie en 1637 basado en la doble intersección. De Beaune extendió sus métodos y los aplicó a las tangentes; en este caso la doble intesección se traduce en raíces dobles. Hudde descubrió un método más sencillo, llamado la Regla de Hudde, que básicamente involucra a la derivada. El método de Descartes y la Regla de Hudde tuvieron una influencia importante sobre Newton.

Huygens criticó las pruebas de Cavalieri diciendo que lo que se necesita es una demostración que al menos convenza de que puede construirse una prueba rigurosa. Huygens tuvo gran influencia sobre Leibniz y por lo tanto jugó un papel importante en la producción de un acercamiento más satisfactorio al cálculo.

Triángulo de Barrow

El siguiente paso importante lo dieron Torricelli y Barrow. El segundo dio un método de tangentes a una curva en el que la tangente está dada como el límite de una cuerda cuando los puntos se acercan uno a otro y que es conocido como el triángulo diferencial de Barrow.

Tanto Torricelli como Barrow estudiaron el problema del movimiento con velocidad variable. La derivada de la distancia es la velocidad y la operación inversa nos lleva de la velocidad a la distancia. De aquí empezó a evolucionar naturalmente una concienciación de la inversa de la diferenciación y que Barrow estuviera familiarizado con la idea de que integral y derivada son inversas una de otra. De hecho, aunque Barrow nunca afirmó explícitamente el teorema fundamental del cálculo, estaba trabajando hacia el resultado y Newton continuaría en esta dirección y daría explícitamente el Teorema Fundamental del Cálculo.

El trabajo de Torricelli fue continuado en Italia por Mengoli y Angeli.

Newton escribió un tratado sobre fluxiones en octubre de 1666. Esta obra no sería publicada en ese momento pero fue revisada por muchos matemáticos y tuvo gran influencia sobre la dirección que tomaría el cálculo. Newton pensó en una partícula que dibuja una curva con dos líneas que se mueven que eran las coordenadas. La velocidad horizontal x' y la velocidad vertical y' eran las fluxiones de x y y asociadas con el flujo del tiempo. Los fluentes o cantidades flotantes eran x y y mismas. Con esta notación de fluxión, y' / x' era la tangente a ƒ( x,y) = 0.

En su tratado de 1666, Newton discute el problema inverso: encontrar y dada la relación entre x y y'/x'. Por lo tanto la pendiente de la tangente estaba dada para cada x y cuando y'/x' = ƒ(x) entonces Newton resuelve el problema mediante la antidiferenciación. También calculó áreas mediante este método y su obra contiene el primer enunciado claro del Teorema Fundamental del Cálculo.

Newton tuvo problemas para publicar su obra matemática. Barrow tuvo algo de culpa ya que el editor de la obra de Barrow había quebrado y después de esto ¡otros tenían temor de publicar obras matemáticas! La obra de Newton sobre Análisis con series infinitas fue escrita en 1669 y circuló como manuscrito. No fue publicada sino hasta 1711. Se modo similar, su Método de fluxiones y series infinitas fue escrito en 1671 y publicado en inglés en 1736. El original en latín fue publicado mucho después.
En estas dos obras, Newton calculó la expansión en serie de sen x y cos x y la expansión de lo que en realidad es la función exponencial pero ésta función no quedaría establecida como tal hasta que Euler introdujo la notación actual e^x.

Aquí se pueden ver la Newton fue el Tractatus de Quadrarura Curvarum que escribió en 1693 pero no fue publicado hasta 1704 cuando la publicó como un apéndice de su Optiks. Su trabajo contiene otro acercamiento que involucra el cálculo de límites. Newton dice:

En el tiempo en que x al fluir se convierte en x + o, la cantidad xⁿ se convierte en (x + o)ⁿ, es decir, por el método de series infinitas,
xⁿ + nox^n-1 + (nn - n)/2 oox^n-2 + ...

Al final deja que el incremento o desaparezca 'tomando límites'.

Leibniz aprendió mucho en un viaje por Europa en el que conoció a Huygens en París en 1672. También conoció a Hooke y a Boyle en Londres en 1673 donde compró varios libros de matemáticas, incluyendo las obras de Barrow. Leibniz sostendría una larga correspondencia con Barrow. Al volver a París, Leibniz realizó un trabajo buenísimo sobre el cálculo, pensando en los fundamentos de manera muy distinta a Newton.

Newton consideraba que las variables cambiaban con el tiempo. Leibniz pensaba que las variables x, y variaban sobre secuencias de valores infinitamente cercanos. Introdujo a dx y dy como las diferencias entre valores consecutivos de esas secuencias. Leibniz sabía que ^dx/_dy da la tangente pero no la usó como una propiedad que defina.
Para Newton, la integración consistía en encontrar flujos para una fluxión dada así que se implica el hecho de que la integración y la diferenciación son inversas. Leibniz usaba la integral como una suma, de forma muy similar a la de Cavalieri. También estaba contento con el uso de las 'infinitesimales' dx y dy mientras que Newton usaba x' y y' que eran velocidades finitas. Por supuesto que ni Leibniz ni Newton pensaban en términos de funciones, pero ambos pensaban siempre en términos de gráficas. Para Newton, el cálculo era geométrico mientras que Leibniz lo llevó hacia el análisis.
Leibniz estaba bien consciente de que encontrar una buena notación era sumamente importante y pensó en ella mucho tiempo. Newton, por otro lado, escribió más bien para él mismo y, como consecuencia, tendía a usar cualquier notación que se lo ocurriera ese día. La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la notación

∫y dy = y²/2

escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre cálculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.

Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.

APORTES DE NEWTON AL CÁLCULO

ISAAC NEWTON

Físico, matemático, astrónomo, químico, alquimista y teólogo ingles nacido en Woolthorpe (cerca de Grantham) el 25 de diciembre de 1642 y murió en Londres el 20 de marzo de 1727. Huérfano de padre, fue a la escuela hasta los 14 años de edad en que lo destinaron a las labores de granja. Viendo el escaso rendimiento de su trabajo manual y su entusiasmo por la matemática, su tío W. Ayscough logró que lo enviara a estudiar a Cambridge, donde se recibió en 1665. Apenas recibido, descubrió el teorema del binomio, que lleva su nombre; parece que pensó sus principales contribuciones teóricas entre 1665 y 1666. Su carrera fue meteórica: en 1667 fue designado fellow del Trinity College; dos años después sucedió a su maestro Barrow en la cátedra de matemática. En 1695 fue nombrado funcionario y cuatro años después director de la casa de moneda (Mint); presidió la Royal Society desde 1703 basta su muerte. Llegó a ser el pensador más famoso de su tiempo, siendo respetado pese a dedicarse casi exclusivamente a especulaciones teóricas y a pesar de sus convicciones religiosas avanzadas (era unitario) en un país entonces intolerante. El problema central de las ciencias en la Inglaterra de Newton era el desarrollo de la astronomía como auxiliar de la náutica, base, a su vez, del naciente imperio británico. Cuando Carlos II dispuso la creación del famoso Observatorio de Greenwich (1675), ordenó a su director: El astrónomo real aplicará de inmediata toda su atención y toda su actividad a rectificar las tablas de los movimientos celestes y las posiciones de las estrellas fijas, a fin de dar los medios para determinar las longitudes, con el objeto de perfeccionar el arte de la navegación. No es, pues, extraño que la física inglesa del siglo XVII estuviese bajo el signo de la astronomía, y que las principales contribuciones de Newton (así como las de Huygens en Holanda) estuviesen conectadas de alguna manera con esta ciencia. La obra científica de Newton consistió en sintetizar el enorme material acumulado, ordenarlo en un sistema del mundo coherente, y someterlo al cálculo matemático, completando así el método inductivo con el deductivo. Como sus antecesores inmediatos, Newton fue un hombre multifacético y contradictorio: se ocupó de cuestiones teóricas y prácticas, científicas y técnicas, filosóficas, religiosas y políticas. Newton hizo un aporte decisivo al cálculo infinitesimal. Antes de él las leyes naturales conocidas se expresaban en forma de relaciones integrales. Newton fue el primero en formular leyes diferenciales, que vinculan variaciones infinitesimales, las que son más fáciles de establecer. Newton disputó con Leibniz por la prioridad en el descubrimiento del cálculo infinitesimal, pero lo cierto es que los aportes de uno y otro fueron complementarios, y que Newton fue el primero en hacer del cálculo infinitesimal el instrumento matemático por excelencia en la investigación física. Newton aplicó su cálculo de las fluxiones (que así llamó a las derivadas) a la dinámica. En particular, formuló su célebre segundo principio de la dinámica, en la forma m(d2s/dt2)=F (si bien con un simbolismo diferente). En palabras: la fuerza causa la aceleración, y ésta es inversamente proporcional a la masa. Ésta fue la primera actuación diferencial de la física teórica o matemática. Para poder conocer el proceso global, y para cotejar la ley matemática con los datos experimentales, es preciso integrar dicha ecuación. Con tal objeto, es preciso conocer la forma del segundo miembro, es decir, la expresión analítica de la fuerza. Newton demostró, después de laboriosos tanteos, que si en el segundo miembro se escribe 1/r2 (la recíproca del cuadrado de la distancia), la órbita, o sea, la función s(t), es una cónica (elipse, hipérbola o parábola). Confirmó así, en forma rigurosa, la conjetura de Wren y fue capaz de deducir las leyes de Kepler del movimiento planetario. Con esto, Newton terminó la síntesis de la mecánica terrestre y de la mecánica celeste, iniciada por Galileo, y fundó una mecánica (llamada racional) que permite abordar, en principio, cualquier problema mecánico (es decir, relativo al cambio de lugar de y en un sistema material). Newton fue, en el dominio de la óptica, digno continuador de Descartes, cuya mecánica había en cambio arruinado. También la óptica, tal como era cultivada en los imperios marítimos, era hija de la navegación, por la necesidad de perfeccionar los instrumentos astronómicos y náuticos. La obra óptica de Newton fue a la vez experimental y teórica; con ser muy variada, no forma un cuerpo homogéneo como su mecánica; en su época sólo Huygens posee una teoría unificada que da cuenta de casi todos los fenómenos luminosos conocidos (con excepción de la polarización). Newton propone la teoría corpuscular de la luz, que explica la propagación rectilínea, pero no los fenómenos de difracción, los que trató de explicar con ayuda de la hipótesis del éter. Descubrió los anillos de interferencias que llevan su nombre, y que finalmente llevarán a Young y Fresnel, a principios del siglo XIX, a reivindicar la teoría ondulatoria de su rival Huygens. Newton conocía los fenómenos ondulatorios y estudió la teoría ondulatoria de la luz, pero ésta no era capaz, en aquella época, de explicar el fenómeno de la polarización (las ondas de Huygens eran longitudinales, en tanto que la polarización exige la consideración de ondas trasversales, es decir, perpendiculares a la dirección de propagación); tal fue, al parecer, el motivo fundamental por el cual Newton no pudo aceptar la teoría ondulatoria de su época. Las tres leyes de la dinámica enunciadas por Newton en sus Principios Matemáticos de la Filosofía Natural son: 1º El principio de inercia, según el cual todo cuerpo abandonado a sí mismo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme. 2º La ley del movimiento, según el cual la variación del impulso mv es producida por la aplicación de una fuerza f: d(mv)/dt=f. 3º El principio de acción y reacción, de acuerdo al cual a toda fuerza le corresponde una fuerza igual y contraria.

APLICACIÓN DE LA INTEGRACIÓN EN CUANTO TIENE QUE VER EL AREA DE BAJO DE LA CURVA.

INTEGRAL DEFINIDA

“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”­--- Isaac Newton.

El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que facilitan este cálculo.

Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:

y sus partes son:

a: representa los términos de la sumatoria

ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria

an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria

k: es el índice de la sumatoria

1: es el límite inferior de la sumatoria

n: es el límite superior de la sumatoria

Gráfica 1.

Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).

Gráfica 2.

Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.

Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:

Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación:

Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).

Gráfica 3.

De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:

que es equivalente a,

con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,

Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.

Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las partes que la componen.

Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo", es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.

ÁREA ENTRE CURVAS

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Gráfica 4.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.

Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:

Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.

si

Método de los discos

Gráfica 5.

Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x.

de aquí, deducimos que, por lo tanto dado que el volumen esta entre a y b, De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el método de los discos.

Método de las arandelas

Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido hueco.

Gráfica 6.

Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,

, de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando la integral definida en el intervalo [a,b].

Método de los casquillos cilíndricos

Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco circular, generado al girar un rectángulo orientado perpendicularmente al eje de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.

Gráfica 7.

Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que aquí, miraremos una formula geométrica que nos dice que el volumen de un casquillo barrido por un rectángulo es:

V=2 (radio promedio del casquillo)(altura del casquillo)(grosor)

en nuestro caso es:

Gráfica 8.

Supongamos que hacemos girar la región sombreada de la Gráfica 8, alrededor del eje y para generar un sólido. Para hallar una aproximación del volumen del sólido, así:

Gráfica 9.

Como podemos ver en la Gráfica 9, de la rotación resultan casquillos cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del sólido de revolución. Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar que:

Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de revolución.

VOLÚMENES POR REBANADAS

Cuando analizamos el método de los discos para hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula:

donde , era el área de la sección circular y x el espesor del disco.

Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a x.

Gráfica 10.

Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos el volumen total del sólido, es decir:

y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su área.

LONGITUD DE ARCO

Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo.

Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.

De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras:

Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.

Gráfica 11.

Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde  es la partición correspondiente de [a,b] tal que

a = n1< ni =" b">

Con esto, siendo , estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s, así:

para:

y

podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:

tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común (x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:

ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:

o equivalente:

así, podemos decir que:

que realmente es equivalente a:

que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Ya hemos usado la integral definida para hallar volúmenes de revolución, longitudes de arco y áreas de regiones planas. Ahora vamos a aprovechar su utilidad para calcular áreas pero esta vez no de regiones planas sino de superficies de revolución, estas no son más que la superficie exterior de cualquier sólido de revolución.

Para poder calcular el área de una superficie de este tipo, es necesario primero saber como calcular el área superficial de un cono circular truncado o tronco de cono.

Gráfica 12.

Consideremos la figura de la Gráfica 12b, donde:

L: es la longitud del segmento

r: es la distancia de un extremo al eje de rotación

R: es la distancia del otro extremo al eje de rotación

Con los datos anteriores, podemos afirmar que el área del tronco de cono es:

Gráfica 13.

Supongamos que la función f(X), de la Gráfica 13, tiene derivada constante y gira alrededor del eje x. Sea una partición de [a,b] en subintervalos de anchuras xi. Entonces el segmento rectilíneo de longitud:

genera un tronco de área lateral, Si y la podemos definir como:

y por aplicación del teorema del valor medio y del teorema del valor intermedio, podemos asegurar que se cumple que:

por lo tanto concluimos que:

Del mismo modo podríamos demostrar que, si la gráfica de f(x), gira alrededor del eje y, el área S, viene dada por:

y de esta manera, con cualquiera de las dos formulas, dependiendo el eje de rotación podemos calcular el área de revolución.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

A LA INGENIERÍA ELÉCTRICA

CAMPOS ELÉCTRICOS

Un campo eléctrico en un punto se define como la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de prueba positiva, situada en ese punto dividida por la magnitud de la carga de prueba q0:

Este campo eléctrico, es producido por algún agente externo, directamente sobre la partícula y no de la partícula sobre el agente externo. Debemos considerar también, que el campo eléctrico siempre estará allí, sin importar si hay o no partícula, sobre la cual actúe la fuerza. Para aplicar la ecuación anterior, debemos suponer que la carga de prueba es tan pequeña que prácticamente no afecta al agente externo, de manera que la distribución del campo eléctrico es uniforme, es decir, que si hay una partícula que cambia su posición dentro del campo eléctrico, pero que estas posiciones sean equidistantes del agente que produce el campo eléctrico, este tendrá la misma magnitud sobre estas partículas.

Consideremos una carga puntual q localizada a una distancia r de una carga de prueba q0 de acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza ejercida sobre la carga de prueba por q es:

Como el campo eléctrico en la posición de la carga de prueba está definido por:

, encontramos que, en la posición de q0, el campo eléctrico formado por q es:

donde , es un vector unitario orientado de q a q0, si q es positiva, el campo eléctrico estará dirigido radialmente hacia fuera, y si es negativa, el campo será dirigido hacia si misma.

Ahora, si queremos calcular el campo eléctrico, en un punto P, debido a un grupo de cargas puntuales, primero calculamos el campo para cada una de las cargas puntuales y luego hacemos la suma vectorial, es decir, que el campo eléctrico total debido a un grupo de cargas es igual al vector suma de los campos eléctricos de todas las cargas.

donde ri, es la distancia desde la carga i-ésima , qi, hasta el punto P, y es un vector unitario dirigido de qi a P.

Campo Eléctrico de una distribución de carga continua

Con frecuencia un grupo de cargas se localizan muy cercanas unas de otras en comparación con sus distancias a puntos a en los cuales se pretende calcular el campo eléctrico. En estos casos, el sistema de cargas puede considerarse como continuo, es decir, que el sistema de cargas, con un espaciamiento muy pequeño entre ellas, es como si fuera una sola carga distribuida continuamente sobre una superficie o un volumen.

Para calcular el campo eléctrico de una distribución de carga continua, se recurre al siguiente procedimiento:

Primero dividimos la distribución de carga en pequeños elementos con una pequeña carga q en cada uno de ellos y con la ley de Coulomb, calculamos el campo eléctrico para una de estas divisiones en un punto P.

de aquí deducimos que el campo eléctrico E, total en el punto P, debido a todos los elementos de la distribución de carga es:

donde el subíndice i se refiere al i-ésimo elemento en la distribución. Ahora si la distancia entre cada uno de esos elementos es muy pequeña comparada con la distancia al punto P, la distribución de carga puede considerarse aproximadamente continua y el campo se total se puede calcular haciendo el límite cuando qi tienda a cero y se convierte en:

de esta manera aplicamos la integral definida para hallar un campo eléctrico, aprovechando que esta está definida como una suma.

Ejemplo:

Campo eléctrico debido a una barra cargada

Una barra de longitud l tiene una carga positiva uniforme por longitud unitaria  y una carga total Q. Calcule el campo eléctrico en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de un extremo.

Para solucionar este problema, asumimos que la barra se encuentra sobre el eje x. x representa un pequeño segmento de la barra de tal forma que q representa la carga en ese segmento. Debido que la proporción entre q y x es igual a la proporción entre la carga total y la longitud de la barra, es decir,

de aquí podemos deducir que:

El campo total en P producido por todos los segmentos de la barra, que se encuentran a distintas distancias desde P, se puede calcular haciendo la integral definida:

veamos que aquí los límites de la integral se extienden desde un extremo de la barra (x=d) hasta el otro lado (x=l+d). Como ke y son constantes se pueden sacar de la integral,

Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente

Cuando una partícula cargada aislada se mueve a través de un campo magnético, esta experimenta sobre sí misma una fuerza magnética. De igual forma sucede con un alambre que conduce corriente cuando es sometido a dicho campo; esto se debe a que la corriente representa una colección de partículas cargadas en movimiento; por lo tanto la fuerza que experimenta el alambre es el resultado de la suma de las fuerzas individuales ejercidas sobre las partículas cargadas del alambre.

Consideremos un segmento de alambre recto, de longitud L y área de sección transversal A, que conduce una corriente I en un campo magnético uniforme B.

La fuerza magnética sobre una carga q que se mueve con velocidad de arrastre vd es qvd × B. Para calcular la fuerza total sobre el alambre, multiplicamos la fuerza sobre una carga, por el número de cargas del segmento. Ya que el volumen del segmento es AL, el número de cargas en el segmento es nAL, donde n es el número de cargas por unidad de volumen. De ahí:

abreviando la expresión, decimos que donde L, es el vector director de la corriente I y la magnitud de L es la longitud del segmento.

Ahora si consideramos un segmento de alambre de forma arbitraria y de sección transversal uniforme en un campo magnético, podemos deducir que la fuerza magnética sobre un segmento pequeño ds en presencia de un campo B es

de aquí podemos deducir que

para I, que es constante y a, b que son los extremos del cable.

EJEMPLOS

Ejemplo 1

Traza la región limitada por las curvas y calcula su área. y primero hallamos los límites e intervalos de integración de aquí hallamos que las funciones se cortan en: y ahora a esto hay que sumarle entonces el área total es:

Ejemplo 2

Hallar el volumen de la región acotada por la curva y=x2+1 y la recta y = -x+3, y que gira respecto al eje x.

solución

primero hallamos los límites de integración.

identificamos los radios de la arandela diferencial

ahora evaluamos la integral

Ejemplo 3

Hallar la longitud de la curva

solución

primero derivamos la función

y elevamos la derivada al cuadrado

la longitud de arco de la curva entre 0 y 1 es